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Sobre grupos finitos admitindo automorfismos coprimos

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MetadadosDescriçãoIdioma
Autor(es): dc.contributorShumyatsky, Pavel-
Autor(es): dc.contributorsararaissasr@hotmail.com-
Autor(es): dc.creatorRodrigues, Sara Raissa Silva-
Data de aceite: dc.date.accessioned2024-10-23T15:43:28Z-
Data de disponibilização: dc.date.available2024-10-23T15:43:28Z-
Data de envio: dc.date.issued2021-05-20-
Data de envio: dc.date.issued2021-05-20-
Data de envio: dc.date.issued2021-05-20-
Data de envio: dc.date.issued2021-01-17-
Fonte completa do material: dc.identifierhttps://repositorio.unb.br/handle/10482/40976-
Fonte: dc.identifier.urihttp://educapes.capes.gov.br/handle/capes/890296-
Descrição: dc.descriptionTese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2021.-
Descrição: dc.descriptionSeja 𝐺 um grupo finito admitindo um automorfismo 𝜑. Denote por 𝐺𝜑 o centralizador de 𝜑 em 𝐺 e por 𝐺−𝜑 o conjunto 𝑥 −1𝑥 𝜑 𝑥 ∈ 𝐺}. O subgrupo gerado por 𝐺−𝜑 será denotado por [𝐺,𝜑]. Existem vários estudos que mostram a relação entre a estrutura do grupo 𝐺 e propriedades dos 𝐺𝜑 e 𝐺−𝜑. Neste trabalho, apresentamos resultados limitando o expoente de 𝐺 e [𝐺,𝜑]. Eles estão concentrados em grupos finitos que admitem um automorfismo coprimo, com atenção especial para grupos de ordem ímpar que admitem um automorfismo involutório. Assim, se 𝐺 é um grupo finito de ordem ímpar admitindo um automorfismo involutório 𝜑, os seguintes resultados foram obtidos: suponha que 𝐺𝜑 é nilpotente de classe 𝑐. Se 𝑥 𝑒 = 1 para cada 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 e o subgrupo < 𝑥, 𝑦 > tem comprimento derivado no máximo 𝑑 para todos 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺−𝜑, então o expoente de [𝐺,𝜑] é limitado em termos de 𝑐, 𝑑 e 𝑒. Além disso, se 𝐺𝜑 tem posto 𝑟 (ver Definição 1.1.27) e 𝑥 𝑒 = 1 para cada 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 , então o expoente de [𝐺,𝜑] é limitado em termos de 𝑒 e 𝑟. Agora, supondo que 𝐺 é um grupo finito admitindo um automorfismo coprimo 𝜑 de ordem 𝑛. Provamos que se todo elemento de 𝐺𝜑 ∪ 𝐺−𝜑 pertence a um subgrupo 𝜑-invariante de expoente dividindo 𝑒, então o expoente de 𝐺 é limitado em termos de 𝑒 e 𝑛. Para a demonstração deste resultado foram utilizadas ferramentas Lie-teóricas desenvolvidas por Zelmanov. Além disso, estendemos o primeiro resultado: suponha que 𝐺𝜑 é nilpotente de classe 𝑐. Se 𝑥 𝑒 = 1 para cada 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 e quaisquer dois elementos de 𝐺−𝜑 pertencem a um subgrupo solúvel 𝜑-invariante de comprimento derivado 𝑑, então o expoente de [𝐺,𝜑] é limitado em termos de 𝑐, 𝑑, 𝑒 e 𝑛.-
Descrição: dc.descriptionLet 𝐺 be a finite group admitting an automorphism 𝜑. Denote by 𝐺𝜑 the centralizer of 𝜑 in 𝐺 and by 𝐺−𝜑 the set 𝑥 −1𝑥 𝜑 𝑥 ∈ 𝐺}. The subgroup generated by 𝐺−𝜑 will be denoted by [𝐺,𝜑]. There are many results relating the structure of the group 𝐺 and the properties of 𝐺𝜑 and 𝐺−𝜑. In this work, we present results bounding the exponent of 𝐺 and [𝐺,𝜑]. They are concentrated in finite groups that admit a coprime automorphism, with special attention to odd order groups that admit an involutory automorphism. Thus, if 𝐺 is a finite group of odd order admitting an involutory automorphism 𝜑, the following results were obtained: suppose that 𝐺𝜑 is nilpotent of class 𝑐. If 𝑥 𝑒 = 1 for each 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 and the subgroup < 𝑥, 𝑦 > has derived length at most 𝑑 for every 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐺−𝜑, then the exponent of [𝐺,𝜑] is bounded in terms of 𝑐, 𝑑 and 𝑒. On the other hand, if 𝐺𝜑 has rank 𝑟 (see Definition 1.1.27) and 𝑥 𝑒 = 1 for each 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑, then the exponent of [𝐺,𝜑] is bounded in terms of 𝑒 and 𝑟. Further, assume that 𝐺 is a finite group admitting a coprime automorphism 𝜑 of order 𝑛. We prove that if every element from 𝐺𝜑 ∪ 𝐺−𝜑 belongs to a 𝜑-invariant subgroup of exponent dividing 𝑒, then the exponent of 𝐺 is bounded in terms of 𝑒 and 𝑛. To demonstrate this result, Lie theoretic tools created by Zelmanov were used. In addition, we extend the first result as follows: suppose that 𝐺𝜑 is nilpotent of class 𝑐. If 𝑥 𝑒 = 1 for each 𝑥 ∈ 𝐺−𝜑 and any two elements of 𝐺−𝜑 belong to a 𝜑-invariant soluble subgroup of derived length 𝑑, then the exponent of [𝐺,𝜑] is bounded in terms of 𝑐, 𝑑, 𝑒 and 𝑛.-
Formato: dc.formatapplication/pdf-
Direitos: dc.rightsAcesso Aberto-
Direitos: dc.rightsA concessão da licença deste item refere-se ao termo de autorização impresso assinado pelo autor com as seguintes condições: Na qualidade de titular dos direitos de autor da publicação, autorizo a Universidade de Brasília e o IBICT a disponibilizar por meio dos sites www.bce.unb.br, www.ibict.br, http://hercules.vtls.com/cgi-bin/ndltd/chameleon?lng=pt&skin=ndltd sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 9610/98, o texto integral da obra disponibilizada, conforme permissões assinaladas, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.-
Palavras-chave: dc.subjectGrupos finitos-
Palavras-chave: dc.subjectAutomorfismos-
Palavras-chave: dc.subjectPosto-
Palavras-chave: dc.subjectExpoente-
Palavras-chave: dc.subjectLie, Álgebra de-
Título: dc.titleSobre grupos finitos admitindo automorfismos coprimos-
Tipo de arquivo: dc.typelivro digital-
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