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Estudo da fatoração de matrizes com aplicações na resolução de sistemas lineares e em processamento de imagens
Use este link compartilhar ou citar este material: http://educapes.capes.gov.br/handle/capes/753353
Registro completo de metadados
| Metadados | Descrição | Idioma |
|---|---|---|
| Autor(es): dc.contributor | Dias, Marina Ribeiro Barros | - |
| Autor(es): dc.contributor | Freitas, Marina Sequeiros Dias de | - |
| Autor(es): dc.contributor | Caminha, Vera Lucia Prudência dos Santos | - |
| Autor(es): dc.contributor | Pires, Rosemary Miguel | - |
| Autor(es): dc.creator | Vasconcellos, João Pedro Cardoso da Silva de | - |
| Data de aceite: dc.date.accessioned | 2024-07-11T17:35:23Z | - |
| Data de disponibilização: dc.date.available | 2024-07-11T17:35:23Z | - |
| Data de envio: dc.date.issued | 2021-08-04 | - |
| Data de envio: dc.date.issued | 2021-08-04 | - |
| Data de envio: dc.date.issued | 2020 | - |
| Fonte completa do material: dc.identifier | https://app.uff.br/riuff/handle/1/22823 | - |
| Fonte: dc.identifier.uri | http://educapes.capes.gov.br/handle/capes/753353 | - |
| Descrição: dc.description | A fatoração de uma matriz pode ser aplicada em diversas situações, principalmente aquelas que envolvem processos computacionais como o processamento de imagens (compressão de imagens e identificação de rostos, por exemplo) e a resolução de sistemas lineares. Nesta última, objetiva-se encontrar a solução do sistema Ax = b, quando possível. Este trabalho apresenta um estudo de técnicas de resolução de sistemas lineares através da fatoração da matriz do sistema. Em termos formais, se A ∈ Rm×n e b ∈ Rm, resolver o sistema linear Ax = b consiste em encontrar um vetor x ∈ Rn tal que Ax é a melhor aproximação para b, ou seja, obter um vetor x que minimize ||Ax − b||2, onde ||.||2 é norma vetorial euclidiana. Para os casos em que a matriz A é quadrada, ou seja, m = n e A é uma matriz não singular (det(A) 6 = 0), o problema tem resposta simples: x = A−1b. Entretanto, se o sistema é sobredeterminado, ou seja, m > n, é possível que nenhum x satisfaça Ax = b. Para esses casos, procura-se uma solução aproximada, que minimize ||Ax − b||2 e este problema é conhecido como problema de mínimos quadrados. Neste trabalho foi proposto o estudo dos sistemas lineares em que A é matriz quadrada de ordem n não singular (sistema com solução única) e os sistemas sobredeterminados, ou seja, os casos em que m > n. A fatoração LU e a fatoração de Cholesky foram estudadas e aplicadas aos sistemas do primeiro caso. A fatoração ortogonal (QR) e a Decomposição em Valores Singulares (SVD) foram estudadas e aplicadas na resolução do segundo. Para a primeira, a fatoração A = ̂ Q ̂R reduzida foi calculada. A fatoração SVD foi aplicada no problema de compressão de imagens e também para o reconhecimento de rostos. | - |
| Descrição: dc.description | Matrix decompositions can be applied in several problems, mainly those that involve computational processes such as image processing (image compression and face identification, for example) and the resolution of linear systems. In the last one, we want to find the solution of Ax = b, when possible. This work presents a study of techniques for solving linear systems through decomposition of the linear system’s matrix. In formal terms, if A ∈ Rm×n and b ∈ Rm, to solve the linear system Ax = b we need to find x ∈ Rn such that Ax is the best approximation for b. In other words, x that turns out ||Ax − b||2 as small as possible. Here, ||.||2 is the 2-norm (Euclidian norm). If A is a square matrix, m = n, and A is a non-singular matrix (det(A) 6 = 0), the problem has a simple answer: x = A−1b. However, in the case of an overdetermined system, m > n, it is possible that Ax = b has no solution and we seek a vector that minimizes ||Ax − b||2. This problem is known as the least squares problem. In this paper, it was proposed the study of linear systems in which A is a non-singular square matrix of order n (system with a single solution) and overdetermined systems, that is, cases in which m > n. LU and Cholesky factorizations were studied and applied to the systems in the first case. Orthogonal factorization (QR) and Singular Value Decomposition (SVD) were studied and applied in the resolution of the second one. For the first, the reduced A = ̂ Q ̂ R factorization was calculated. SVD factorization was applied to the image compression problem and also to face recognition. | - |
| Formato: dc.format | application/pdf | - |
| Idioma: dc.language | pt_BR | - |
| Direitos: dc.rights | Open Access | - |
| Direitos: dc.rights | http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/br/ | - |
| Direitos: dc.rights | CC-BY-SA | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Fatoração LU | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Fatoração de Cholesky | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Fatoração ortogonal | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Decomposição em valores singulares | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Equações normais | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Álgebra linear | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Processamento de imagem | - |
| Palavras-chave: dc.subject | LU factorization | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Cholesky factorization | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Orthogonal factorization | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Single value decomposition | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Normal equations | - |
| Título: dc.title | Estudo da fatoração de matrizes com aplicações na resolução de sistemas lineares e em processamento de imagens | - |
| Tipo de arquivo: dc.type | Trabalho de conclusão de curso | - |
| Aparece nas coleções: | Repositório Institucional da Universidade Federal Fluminense - RiUFF | |
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