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Caracterização e coloração total de grafos bipartidos com até três bicliques
Use este link compartilhar ou citar este material: http://educapes.capes.gov.br/handle/capes/1096689
Registro completo de metadados
| Metadados | Descrição | Idioma |
|---|---|---|
| Autor(es): dc.contributor | Zatesko, Leandro Miranda | - |
| Autor(es): dc.contributor | Groshaus, Marina Esther | - |
| Autor(es): dc.contributor | Zatesko, Leandro Miranda | - |
| Autor(es): dc.contributor | Groshaus, Marina Esther | - |
| Autor(es): dc.contributor | Rocha, Aleffer | - |
| Autor(es): dc.contributor | Almeida, Sheila Morais de | - |
| Autor(es): dc.creator | Montanheiro, Gustavo Leardini | - |
| Data de aceite: dc.date.accessioned | 2025-08-29T12:30:38Z | - |
| Data de disponibilização: dc.date.available | 2025-08-29T12:30:38Z | - |
| Data de envio: dc.date.issued | 2024-01-31 | - |
| Data de envio: dc.date.issued | 2024-01-31 | - |
| Data de envio: dc.date.issued | 2022-12-15 | - |
| Fonte completa do material: dc.identifier | http://repositorio.utfpr.edu.br/jspui/handle/1/33246 | - |
| Fonte: dc.identifier.uri | http://educapes.capes.gov.br/handle/capes/1096689 | - |
| Descrição: dc.description | The total chromatic number of a graph 𝐺 is the least number of colours necessary to colour all the vertices and edges of 𝐺 só that no adjacent elements have the same colour. Determining the total chromatic number of a graph is an important hard problem that has been studied for many graph classes, including graphs with few cliques. For graphs with a universal vertex, it was solved by Hilton in 1990. If the total chromatic number of a graph 𝐺 is ∆(𝐺) + 1, 𝐺 is said to be Type 1. If it is ∆(𝐺) + 2, then 𝐺 is Type 2. In 2012, Campos et al. solved the problem for split-indifference graphs, all of which have at most three cliques, proving that such a graph 𝐺 is: Type 2 if 𝐺 has some ∆-subgraph 𝐻 (i.e a subgraph with ∆(𝐻) = ∆(𝐺)) which has a universal vertex and is Type 2; Type 1 otherwise. In 1991, Hilton also solved the problem for bipartite graphs with adjacent bi-universal vertices (a vertex in a part of a bipartite graph is bi-universal if it is adjacent to all vertices in the other part). We conjecture that a bipartite graph 𝐺 with at most three bicliques is: Type 2 if 𝐺 has some Type 2 ∆-subgraph with adjacent bi-universal vertices; Type 1 otherwise. If 𝐺 has at most two bicliques, then the conjecture holds by Hilton’s result. If 𝐺 has three bicliques, we prove that the graph obtained after successively removing twins is either a 𝑃5 or has adjacent bi-universal vertices. For the former case, let 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 be the sets of twin vertices, where the 𝑃5 is given by the sequence 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, being 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 their corresponding cardinalities, with 𝑎 ≥ 𝑒 without loss of generality. Then, we prove that our conjecture holds for all the following cases: 𝑏 + 𝑑 ̸= 𝑐 + 𝑎; 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎 > 𝑎𝑑 + min(𝑎, 𝑑); max(𝑑, 𝑒) < 𝑎 and 𝑎𝑑 ≥ 𝑏. So, the conjecture remains open when 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎 ≤ 𝑎𝑑 + min(𝑎, 𝑑) and: either 𝑑 ≥ 𝑎, or 𝑎 = 𝑒 > 𝑑. | - |
| Descrição: dc.description | O número cromático total de um grafo 𝐺 é o menor número de cores necessário para colorir todos os vértices e todas as arestas de 𝐺 de modo que não haja cores iguais em elementos adjacentes. Determinar o número cromático total de um grafo é um problema importante, porém difícil, que já foi estudado em diversas classes de grafos, incluindo grafos com poucas cliques. Para grafos com um vértice universal, o problema foi resolvido por Hilton em 1990. Se o número cromático total de um grafo 𝐺 é ∆(𝐺) + 1, dizemos que 𝐺 é Tipo 1. Se é ∆(𝐺) + 2, dizemos que 𝐺 é Tipo 2. Em 2012, Campos et al. determinaram o número cromático total dos grafos split-indiferença, os quais contêm no máximo três cliques, provando que 𝐺 é Tipo 2 se 𝐺 tem um ∆-subgrafo 𝐻 que tem um vértice universal e é Tipo 2; senão é Tipo 1. Em 1991, Hilton também resolveu o problema para grafos bipartidos com vértices biuniversais adjacentes. Nós conjecturamos que um grafo bipartido 𝐺 com no máximo três bicliques é: Tipo 2 se 𝐺 tem algum ∆-subgrafo Tipo 2 com vértices biuniversais adjacentes; senão é Tipo 1. Se 𝐺 tem no máximo duas bicliques, então a conjectura vale pelo resultado de Hilton. Se 𝐺 tem três bicliques, nós provamos que o grafo obtido após a remoção sucessiva de vértices falsos gêmeos é isomorfo ao 𝑃5 ou tem vértices biuniversais adjacentes. No primeiro caso, sejam 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 os conjuntos de vértices falsos gêmeos de 𝐺, onde o 𝑃5 é dado pela sequência 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸, com 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 sendo suas respectivas cardinalidades, com 𝑎 ≥ 𝑒 sem perda de generalidade. Então, provamos que nossa conjectura vale para todos os seguintes casos: 𝑏 + 𝑑 ̸= 𝑐 + 𝑎; 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎 > 𝑎𝑑+ min(𝑎, 𝑑); max(𝑑, 𝑒) < 𝑎 e 𝑎𝑑 ≥ 𝑏. A conjectura permanece aberta para os casos em que 𝑏 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑎 ≤ 𝑎𝑑 + min(𝑎, 𝑑) e: ou 𝑑 ≥ 𝑎, ou 𝑎 = 𝑒 > 𝑑. | - |
| Formato: dc.format | application/pdf | - |
| Idioma: dc.language | pt_BR | - |
| Publicador: dc.publisher | Universidade Tecnológica Federal do Paraná | - |
| Publicador: dc.publisher | Curitiba | - |
| Publicador: dc.publisher | Brasil | - |
| Publicador: dc.publisher | Engenharia de Computação | - |
| Publicador: dc.publisher | UTFPR | - |
| Direitos: dc.rights | openAccess | - |
| Direitos: dc.rights | http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Teoria dos grafos | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Grafos bipartidos | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Coloração de grafos | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Graph theory | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Bipartite graphs | - |
| Palavras-chave: dc.subject | Graph coloring | - |
| Palavras-chave: dc.subject | CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::CIENCIA DA COMPUTACAO | - |
| Título: dc.title | Caracterização e coloração total de grafos bipartidos com até três bicliques | - |
| Título: dc.title | Characterising and total colouring bipartite graphs with at most three bicliques | - |
| Tipo de arquivo: dc.type | livro digital | - |
| Aparece nas coleções: | Repositorio Institucional da UTFPR - RIUT | |
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