Métodos de resolução de equações cúbicas e quadráticas no percurso histórico (Atena Editora)

Abstract

Um dos grandes temas abordados pela Álgebra constitui-se na resolução de equações algébricas. As equações algébricas ou polinomiais são aquelas em que a incógnita aparece submetida apenas às operações algébricas: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação. Encontrar métodos capazes de resolver estas sentenças matemáticas sempre foi um assunto que arrebatou os matemáticos no decorrer da história. Os mais antigos registros históricos da utilização de equações pelo homem advêm das regiões do Egito e Mesopotâmia e datam de cerca de 2000 a. C. A matemática nesse período tinha um caráter essencialmente aplicável às atividades práticas do cotidiano, como a contagem e a mensuração. Somente com o decorrer do tempo passa a ter caráter mais abstrato e possuir o status de ciência. Do Egito Antigo, os documentos matemáticos mais famosos que foram preservados e chegaram aos dias atuais são os papiros de Ahmes (também conhecido como papiro de Rhind) e de Moscou. O papiro de Moscou, o mais antigo deles, data de cerca de 1850 a. C., e o papiro de Ahmes, um pouco mais recente, datado por volta de 1650 a. C., contém respectivamente 25 e 85 problemas de geometria e aritmética. Em ambos, as equações do 1º grau aparecem de forma tímida e disfarçada de problemas e eram resolvidas por meio do Método da Falsa Posição . Os antigos babilônios, nesta mesma época, já conseguiam trabalhar com equações quadráticas usando um raciocínio semelhante ao de Bhaskara, quase três mil anos antes, denominado “complemento do quadrado” (GARBI, 2007). Os babilônios construíram tabelas contendo quadrados e cubos de números naturais e obtiveram resultados corretos para alguns casos específicos de equações cúbicas. A porta de entrada à Europa dos conhecimentos das antigas civilizações do oriente foi a Grécia. Quando se fala de equação neste país balcânico não se pode deixar de lembrar-se de dois grandes matemáticos: Pitágoras (569 a. C. - 475 a. C.) e sua demonstração da relação entre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo (a^2=b^2+c^2 ), que produziu pela primeira vez a equação de segundo grau na Europa, com defasagem temporal de 1200 anos em relação à civilização babilônica; e Euclides (330 a. C. – Desconhecida) que em sua célebre obra "Os Elementos", lança as regras básicas a fim de solucionar as equações de primeiro grau; estas regras são conhecidas como axiomas . Menecmo (380 a. C. a 320 a. C.) e Hipócrates (460 a. C. – 370 a. C.) estudaram casos particulares de equações cúbicas oriunda da resolução de um dos 3 problemas clássicos da matemática grega: a duplicação do cubo. Mas quando a Grécia antiga caiu em declínio, o progresso matemático teve uma pausa. Isso foi no ocidente; no oriente, por volta do século VII, a matemática floresceu no império islâmico. Sob a tutela dos califas surgiu a Casa do Conhecimento , cujo diretor foi o persa Mohammad Al-Khwarizmi. Al-Khwarizmi revolucionou até então a matemática utilizada com a adoção dos números hindus e com a criação de uma nova linguagem matemática, a álgebra. Apropriando-se destas ferramentas, ele foi capaz de obter uma fórmula que poderia ser usada para resolver qualquer equação de segundo grau, com quaisquer números. O próximo cálice sagrado da matemática era encontrar um método geral que pudesse resolver as cúbicas. Foi o matemático árabe do século XI, Omar Khayyam, que encarou o desafio de resolver o problema das cúbicas. A partir de um método que utilizava álgebra e geometria estabeleceu pela primeira vez uma forma de resolver equações cúbicas, em alguns casos gerais. Foram necessários mais cinco séculos para que os matemáticos europeus, munidos das poderosas ferramentas construídas pelos árabes, pudessem fornecer uma solução geral para as cúbicas. Na Europa, três grandes matemáticos italianos se destacaram: Scipione del Ferro, o primeiro a descobrir método algébrico para solucionar equações cúbicas de um determinado tipo, mas que não publica sua descoberta, Niccolò Fontana, apelidado de Tartaglia, descobridor de um método algébrico capaz de resolver as equações de terceiro grau no caso geral, e Girolamo Cardano, responsável pela publicação e consequente difusão da fórmula atribuída à Tartaglia. O método descoberto exigia uma série de transformações da equação inicial, obtendo assim um algoritmo que ficou conhecido como “fórmula por meio de radicais” ou “fórmula resolvente”. A fórmula, contudo, gerou em alguns casos muita estranheza entre os matemáticos, pois ao aplicá-la, uma parcela da equação gerava uma raiz quadrada de número negativo, o que era sabido até então que não existia. Este problema que assombrou os matemáticos por alguns anos ficou conhecido como os “Casus Irreducibilis”. Coube ao também matemático italiano Rafael Bombelli propor uma nova interpretação para os números da forma √(-n), ou como ele denominou na época de “plus de minus”. Bombelli com seus estudos cria uma nova classe de números não conhecidos até então e que foram mais tarde nominados por Descartes de números imaginários. Após a descoberta do método para a resolução da equação do terceiro grau por meio de radicais, os matemáticos se perguntavam se isso seria possível para equações de graus superiores. Lodovico Ferrari, assistente de Girolamo Cardano, respondeu a esta indagação para o caso das quárticas. Utilizando convenientes substituições e outros artifícios matemáticos conseguiu reduzir a três o grau da equação original, e valendo-se da fórmula já existente para as cúbicas, Ferrari conseguiu encontrar uma solução para a equação do quarto grau. Outros matemáticos posteriormente desenvolveram métodos próprios para a resolução das quárticas, entre ele, Descartes, Euler e Lagrange. Após Ferrari, muitos matemáticos tentaram demonstrar que era possível encontrar uma fórmula geral para solucionar equações quínticas por resolventes, contudo os sonhos destes foram frustrados por dois jovens prodígios do século XIX, Niels Henrik Abel e Evariste Galois. Abel demonstrou a impossibilidade de se obter uma fórmula resolutiva geral que expressasse as raízes de uma equação de grau cinco por meio de radicais e Galois provou a impossibilidade de encontrar uma fórmula geral para equação de grau n>4 e apresentou os critérios a fim de que uma equação seja solúvel por meio de radicais. As descobertas de Galois põem um ponto final na longa história pela busca de métodos resolventes para as equações de grau n e abre uma nova página na matemática com o estudo da Teoria de Grupos.